Debatt

Om Poincaré, Perelman og kuler

Hva er det med Grigori Perelman? Og hva er det egentlig han har funnet ut?

I sommer og høst har medier over hele verden omtalt den russiske matematikeren Grigori Perelman og hans matematiske prestasjoner – "verdens smarteste mann", "geni utfordrer skaperen", "fikk ikke fornyet kontrakten med sitt universitet", "sier nei til seks millioner kroner", "har ikke råd til å reise for å motta pris" osv. Mytene om Perelman er mange og historien har nylig tatt en overraskende vending. Nå er Sylvia Nasar, forfatter av boken A Beautiful Mind, anklaget for ærekrenkelse. Nasar skal nemlig, i en artikkel i The New Yorker, ha hevdet at en berømt matematiker, Shing-Tung Yau, urettmessig tar æren for Perelmans prestasjoner. Men la oss, før vi diskuterer personen Perelman, se litt på problemet han har løst.

De fleste eksperter er nå enige om at Perelman har bevist den såkalte Poincaré-hypotesen (eller formodningen). En matematisk hypotese er ikke noe annet enn et ubevist matematisk utsagn. Som et eksempel kan vi se på sammenhengen mellom lengden av sidene i vanlige, rettvinklede trekanter. Ved måling av mange trekanter finner vi at det ser ut som at kvadratet av hypotenusen (den lengste siden) er lik summen av kvadratene av katetene (de korteste sidene). Hypotesen er at denne sammenhengen gjelder for alle rettvinklede trekanter. Inntil Pytagoras beviste at utsagnet er riktig, var påstanden en hypotese, etterpå er den blitt Pytagoras’ teorem.

I 1904 fremsatte den franske matematikeren Henri Poincaré det som senere er blitt kalt Poincaré-hypotesen, som tilhører den delen av matematikk som kalles topologi. Her studerer man egenskaper (f.eks. hos flater) som forblir uendret under deformasjoner, f.eks. strekking og bøyning, men ikke skjæring eller riving. Da blir en kule og terninger “like” siden man ved å glatte ut hjørnene på terningen kan få den til å bli lik en kule. Men prøver man det samme på en smultring, finner man at det er umulig å deformere den til en kule.

En intuitiv formulering av Poincaré-hypotesen er som følger. Tenk deg at du binder en lasso-løkke rundt et legeme. Så strammer du løkken. Om legemet er en kule, kan du stramme løkken til et punkt. Ved å runde av hjørnene på en terning eller en pyramide, kan du gjøre det samme på dem. Men binder du lasso-løkken gjennom hullet på en smultring, kan du ikke stramme løkken til et punkt. En kopp med én hank gir samme resultat som en smultring, og vi sier at de er “like”.

Det er altså en fundamental forskjell på kuler og terninger på den ene siden og smultringer og kopper på den andre siden. Poincarés hypotese sier at dersom du kan stramme den til et punkt uansett hvor du binder lasso-løkken, så er overflaten “lik” en kule. Vi har forenklet noe, siden man i Poincaré-hypotesen forutsetter at flaten skal være en tredimensjonal flate i et høyeredimensjonalt rom, og da kommer intuisjonen fra smultringer og terninger til kort. En presis formulering av Poincaré-hypotesen kan man f.eks. lese på Wikipedia.

Poincaré-hypotesen har fascinert matematikere i over 100 år. Hva er så spesielt med den? En viktig begrunnelse er at spørsmålet gjelder helt fundamentale objekter i vår verden. Resultatet kan dermed få viktige konsekvenser i fysikk og for vår forståelse av universets struktur.

Et annet argument for viktigheten av Poincarés hypotese er følgende: I matematikk er det hundrevis av hypoteser som spesialister tilbringer tiår av sine liv for å bevise. Ved årtusenskiftet nedsatte en privat amerikansk stiftelse, The Clay Institute, en komité av eksperter for å velge de viktigste uløste problemene i matematikk. De kom frem med en liste på syv problemer, kalt millennium-problemene. For å skaffe publisitet omkring problemene, utlovet de en belønning på én million dollar for hvert problem som ble løst. På denne listen står Poincaré-hypotesen, som dermed er et av de mest sentrale problemer i matematikken.

Mange har påstått at de har løst problemet. Det tilsvarende problemet i høyere romdimensjoner er løst; kanskje noe overraskende siden kompleksiteten øker med dimensjonen. Disse bevisene har ledet til utvikling av ny matematisk teori, og er blitt belønnet med flere høythengende priser. Men det opprinnelige problemet har forblitt uløst i hundre år inntil Perelman i 2002–2003 la ut tre arbeider om Poincaré-hypotesen på internett, men uten å ville publisere dem i vitenskapelige tidsskrifter. Eksperter ga seg straks i kast med å studere arbeidene i et forsøk på å forstå dem, og Perelman ble invitert til USA for å holde forelesninger om arbeidene.

Men deretter flyttet han tilbake til St. Petersburg, sa opp sin stilling på Steklov-instituttet og sluttet å korrespondere med andre matematikere. Eksperter fortsatte å arbeide med hans teorier, og det finnes nå flere bøker der detaljer i Perelmans argumenter blir gitt, manus på mellom 300 og 500 sider (hans arbeider er på 68 sider til sammen!). Og etter flere års arbeid er nå de fleste ekspertene enige om at han har løst problemet. Argumentene til Perelman er geniale, men uhyre tekniske og krever nøye studier før man kan være overbevist at beviset er feilfritt.

Den siste tidens medieoppslag har blant annet dreid seg om hvorvidt han ville motta Fieldsmedaljen som utdeles på de internasjonale matematikerkongressene til inntil fire matematikere yngre enn 40 år. Disse prisene henger meget høyt (én norsk matematiker har mottatt denne, Atle Selberg i 1950).

Presidenten i den internasjonale matematikkunionen, Sir John Ball, dro til St. Petersburg for å overtale Perelman til å motta prisen, alle reiseutgifter dekket. Men Perelman ville ikke motta prisen, noe som aldri har skjedd før. Det er vanskelig å vite hvorfor han opptrer slik; han sier at han ikke trenger pris for å ha bevist Poincaré-hypotesen – anerkjennelsen av å ha bevist teoremet er nok for ham, og i evighetens perspektiv er vel det kanskje riktig.

Hva så med Clay-instituttets million dollar? Her er prosedyrene mer omfattende, og det kreves en toårsperiode der beviset er allment tilgjengelig uten at noen finner feil i argumentet før pengene blir utbetalt. Denne toårsprosedyren vil snart starte. Videre må det avgjøres om Perelman eventuelt skal dele prisen med andre, bl.a. har han i stor grad bygget videre på amerikaneren Richard Hamiltons ideer. Vil Perelman ta imot denne prisen?

Hvem er så Grigori “Grisha” Perelman? Han er en 40 år gammel russisk matematiker hvis far er fysiker og mor er matematikklærer. Hans talent ble tidlig kjent, og han vant som 16-åring gullmedalje i den internasjonale matematikkolympiaden. Senere fikk han en pris fra den europeiske matematikkforeningen, som han avslo. Nå har han flyttet hjem til sin mor i St. Petersburg og er så vidt man vet uten arbeid.

Det er ingen som vet om han arbeider med matematikk, og han holder seg for seg selv. En slik oppførsel pirrer folk over hele verden. Jeg tror man bare må akseptere at han som mange, men ikke alle, genier opptrer på en måte som er vanskelig for oss vanlige mennesker å forstå. Men alle matematikere håper at han vil vende tilbake til aktiv matematikk.

Det er interessant med en forsker som til de grader bryter med vanlige forskertradisjoner: Ingen publisering i internasjonale topptidsskrifter, ingen større forskningsprosjekter med støtte fra forskningsråd, ingen ansettelse ved topprankede universiteter, ingen selvpromotering. For å løse et problem av den vanskelighetsgrad som Poincaré-hypotesen er det nødvendig (men ikke tilstrekkelig!) å kunne sitte uforstyrret og konsentrert over lang tid. Andre genier fra tidligere tider, som f.eks. Newton, var kjent for sin fullstendige konsentrasjon døgnet rundt når han arbeidet med vanskelige problemer.

Perelman viser at det fortsatt er mulig å løse problemer, iallfall i teoretiske disipliner, ved simpelthen å tenke dypere enn andre, uten større ressurser i ryggen. Men det krever overlegen intellektuell kapasitet. Jeg tror Perelman ved sine handlinger i liten grad bevisst protesterer mot internasjonal forskningstradisjon, men heller at han krever fullstendig uavhengighet og har små materielle krav.

Det er klart at hans prestasjoner er på nivå til å fortjene en Abelpris. Vil han motta den når hans tid kommer, eller vil han bli den første “no-show”?

Mer fra Debatt